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Bienvenue sur les pages de mathématiquesde la PSI* du lycée Clemenceau de Nantes ! |
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Bienvenue sur les pages de mathématiquesde la PSI* du lycée Clemenceau de Nantes ! |
Le calendrier a été revu pour cause de pandémie…
La version officielle est sur le site scei, méfiez-vous des fake news !
Un autre calendrier détaillé se trouve sur le site du ministère, mais la ligne 9 du tableau initial comporte une anomalie, nous attendons une rectification…
Rappel : le site prepas.org propose une « base d'aide à l'orientation », qui permet de filtrer les écoles par thèmes ou en utilisant des mots-clés.
Les nouveautés sont empilées en haut de la liste numérotée.
Si un document est fourni, il s'obtient en cliquant sur l'intitulé de l'item.
Cet exercice « de culture générale » est immédiat pour qui connaît le résultat suivant : pour tout élément \(M\) d'un groupe fini \(G\), il existe \(r\in\mathbb{N}^*\) tel que \(M^r=I\), où \(I\) désigne l'élément neutre de \(G\).
Ce résultat est hors programme en PSI, dans un sujet d'écrit on vous le ferait admettre ou démontrer. Pour ce faire, il suffit de considérer la suite des puissances successives de \(M\), qui ne peuvent pas être distinctes deux à deux puisque toutes dans le même ensemble fini \(G\). On en déduit l'existence de \(p\) et \(q\) entiers tels que \( p < q \) et \(M^p=M^q\). Alors \(r=q-p\) convient : on peut simplifier par \(M^p\) qui est inversible !
Ce résultat démolit l'exercice considéré puisque l'on dispose ainsi d'un polynôme annulateur scindé à racines simples pour \(M\)…
Notez que ledit résultat ne tient plus dans un groupe infini : voyez par exemple les puissances de \(2.I_n\) dans \(GL_n(\mathbb{C})\)…
Cet exercice étiqueté CCP est très intéressant. Répondre à la question posée demande déjà un travail un peu délicat, pour expliciter les coefficients de la série entière recherchée.
Et vous verrez dans le corrigé un enchaînement de questions subsidiaires de plus en plus diaboliques !
Il n'existe malheureusement pas de méthode générale et efficace pour montrer qu'une fonction donnée \(f\) est DSE.
Il est nécessaire que \(f\) soit \(C^\infty\), auquel cas les coefficients de la série entière doivent être ceux de sa série de Taylor, mais ce n'est pas suffisant, même si le rayon de convergence de la série de Taylor est strictement positif ! Revoir le contre-exemple du cours… Pour conclure que \(f\) est DSE, il faut démontrer qu'elle coïncide avec la fonction somme de sa série de Taylor !
Pour cela, une première idée est de partir de la formule de Taylor avec reste intégral à l'ordre \(n\) et faire tendre \(n\) vers l'infini : il s'agit alors de montrer que ledit reste intégral tend vers 0… Cela peut fonctionner dans certains cas favorables, où l'on peut expliciter et majorer les dérivées successives de \(f\), ce qui est hélas assez rare… Un bon exercice est de justifier ainsi le DSE sur \(]-1,1[\) de \((1+x)^\alpha\).
Une deuxième idée, souvent utile notamment en lien avec une équation différentille, est de montrer que \(f\) coïncide avec la fonction somme d'une série entière en invoquant un théorème d'unicité (par exemple le théorème de Cauchy…). C'est ainsi que le DSE usuel évoqué ci-dessus a été obtenu en cours.
Dernière idée, plus simple à mettre en œuvre mais limitée aux cas suffisamment « sympathiques » : utiliser les DSE usuels pour réécrire \(f(x)\) sous la forme d'une somme de série entière, au moins sur un voisinage de 0. Revoir par exemple \(x\mapsto\frac{\mathrm{ln}(1+x)}{x}\), \(x\mapsto\frac{e^x-1}{x}\), bien sûr prolongées au préalable par continuité en 0 !
Vous avez bien lu, ça existe mais pas dans le programme de PSI…
Pourtant tous les outils s'y trouvent, pour obtenir la formule de Taylor à l'ordre 2 pour une fonction de classe \(C^2\), qui donne un développement limité où les termes d'ordre 2 sont explicites, en fonction des dérivées partielles secondes de la fonction étudiée.
Il apparaît ainsi une « forme quadratique » et l'on peut exploiter l'item 2. ci-dessous !
Le corrigé du sujet Math 2 PSI e3a 2017 utilise sans vergogne (au 3.3.1) ce résultat classique mais hors programme…
À l'oral, on peut en discuter avec l'examinateur ; sur une copie, il faut le démontrer ; de toute façon il vaut mieux connaître ce résultat (cf. T.D. 01, exo 13.) et savoir le démontrer !
Mais en l'occurrence, on pouvait très bien s'en passer, pour montrer que \(F_j^2=0\) :
en écrivant \(F_j\) sous forme de tableau et en calculant directement le produit matriciel \(F_j\times F_j\).
en constatant, au vu des colonnes de \(F_j\), que \(\mathrm{Im}F_j=\mathrm{Vect}(e_1-e_j)\) pour en déduire que \(\mathrm{Im}F_j\subset\mathrm{Ker}F_j\), ce qui équivaut à \(F_j^2=0\) (cf. T.D. 01, exo 2.a)
en remarquant que toutes les colonnes de \(F_j\) sont dans \(\mathrm{Ker}F_j\) et donc que \(F_j^2\) annule tous les vecteurs de la base canonique.
Le corrigé de l'exercice 50 de la banque CCINP invoque une « extension du théorème de convergence dominée » qui n'est pas au programme en PSI…
Mais on s'en sort très bien en suivant les conseils du cours !
Pour changer, un complément au programme ! La décomposition QR est citée dans le programme officiel, comme exemple d'illustration de l'orthonormalisation de
Vous obtiendrez le corrigé (programme Python inclus !) en cliquant sur le titre de cet item.
Hors programme… mais bonnes pour la « culture générale », quelques remarques sur l'axiome du choix et ses liens avec l'existence — en dimension infinie — de bases, de supplémentaires…
Voyez ce joli exercice de géométrie, qui utilise le cours sur les plans tangents à une surface, mais aussi le complément hors programme sur l'équation de la réunion de deux droites vectorielles, détaillé dans le corrigé de l'exo 12 du T.D. 12…
On sait que le rang est invariant par composition avec un isomorphisme. Ce document apporte quelques précisions…
Petit rappel, suite à une question arrivée par courriel : pour calculer la distance d'un point \(u\) à un sous-espace de dimension finie \(F\), dans un espace préhilbertien réel, on peut déterminer son projeté orthogonal sur \(F\). Pour cela, principalement trois idées :
utiliser la formule du théorème du cours, qui donne les coordonnées du projeté dans une base orthonormale de \(F\) ; si l'on n'a pas déjà une base orthonormale, on peut commencer par une orthonormalisation, mais c'est bien l'inconvénient de cette méthode…
déterminer les coordonnées du projeté \(v\) dans la base dont on dispose, en résolvant le système fournit par la caractérisation habituelle de \(v\) : c'est l'unique vecteur de \(F\) tel que \(u-v\) soit orthogonal à \(F\), ce que l'on traduit par son orthogonalité à chacun des vecteurs de la base, obtenant ainsi ledit système. C'est toujours un système de Cramer, on le justifie par exemple en remarquant que son déterminant est le déterminant de Gram de la base utilisée !
rechercher l'unique point critique de la fonction de plusieurs variables qui à \(v\in F\) associe \(\lVert u-v \rVert^2\) ! Cette recherche conduit au même système de Cramer qu'au point précédent ! Et l'étude locale est superflue puisque l'on sait qu'il y a un minimum global (en invoquant sans calculs la projection orthogonale). Ce minimum étant a fortiori local, il est nécessairement atteint en ce point critique, puisqu'il n'y en a qu'un !! Et l'on peut même conclure que ledit point critique est le projeté orthogonal de \(u\) sur \(F\) !!!
Pour illustrer ce qui précède, les trois méthodes appliquées sur un exemple (celui qui est arrivé avec la question !).
Seule celle de
Et, pour comparer les deux, j'utilise l'extension du lemme de
Quelques résultats algébriques, analytiques et géométriques sur les ellipses, avec en prime des bissectrices.
Deux résultats bien connus (mais hors programme… en maths !) sur la transformation de
Un résultat archi-classique, jolie application du théorème du transfert.
Complément pouvant aider à l'étude locale au voisinage d'un point critique, en profitant du théorème spectral !
Partant d'un excellent exo de probas posé à l'oral X-ENS, j'ai reformulé l'énoncé et tapé un corrigé détaillé.
En cas d'alerte indiquant un risque d'attentat ou d'intrusion, ces consignes doivent être appliquées.